Задача 1
Последовательность строится по следующему закону.
На первом месте стоит число 7,
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 2000 месте?
Решение:
Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; … — число 5 повторилось.
Значит, у последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее будут повторяться.
На пятом месте — пятерка, тогда для любого k > 0 на (3k + 2)-м месте также будет пятерка.
Так как 2000 = 3 x 666 + 2,
то 2000-м месте стоит число 5.
Задача 2
Дан параллелограмм OACB.
Проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O.
Какую часть эта прямая отсекает от диагонали OC?
Решение:
Пусть OA = y, OC = x, OB = z. Проведем прямые, параллельные уже проведенной: через точки B, A, а также прямую, параллельную данной и отсекающие такие же отрезки, как в условии, от противоположных сторон.
Используя теорему Фалеса, несложно доказать, что эти прямые (вместе с данной) разбивают диагональ на отрезки x, 2x, x, 2x, x (начиная от вершины O).
Отсюда x = OC / 7.
Задача 3
Решите в натуральных числах уравнение
zx + 1 = (z + 1)2.
Решение:
При x = 1 или z = 1 уравнение решений не имеет.
Раскроем скобки и преобразуем равенство к виду z (zx–2 – 1) = 2.
Так как z и x не меньше 2, то левая часть уравнения неотрицательна.
При x = 2 корней нет.
При x ? 3 левая часть положительна, а если при этом z ? 3, то левая часть уравнения будет больше правой (также нет корней).
Остается случай z = 2, тогда x = 3.
Последовательность строится по следующему закону.
На первом месте стоит число 7,
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 2000 месте?
Решение:
Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; … — число 5 повторилось.
Значит, у последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее будут повторяться.
На пятом месте — пятерка, тогда для любого k > 0 на (3k + 2)-м месте также будет пятерка.
Так как 2000 = 3 x 666 + 2,
то 2000-м месте стоит число 5.
Задача 2
Дан параллелограмм OACB.
Проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O.
Какую часть эта прямая отсекает от диагонали OC?
Решение:
Пусть OA = y, OC = x, OB = z. Проведем прямые, параллельные уже проведенной: через точки B, A, а также прямую, параллельную данной и отсекающие такие же отрезки, как в условии, от противоположных сторон.
Используя теорему Фалеса, несложно доказать, что эти прямые (вместе с данной) разбивают диагональ на отрезки x, 2x, x, 2x, x (начиная от вершины O).
Отсюда x = OC / 7.
Задача 3
Решите в натуральных числах уравнение
zx + 1 = (z + 1)2.
Решение:
При x = 1 или z = 1 уравнение решений не имеет.
Раскроем скобки и преобразуем равенство к виду z (zx–2 – 1) = 2.
Так как z и x не меньше 2, то левая часть уравнения неотрицательна.
При x = 2 корней нет.
При x ? 3 левая часть положительна, а если при этом z ? 3, то левая часть уравнения будет больше правой (также нет корней).
Остается случай z = 2, тогда x = 3.
